Как по квадратному уравнению найти график. Парабола — свойства и график квадратичной функции. Необходимые шаги для построения графика квадратичной функции
Построение графика квадратичной функции всегда было проблемой для многих школьников. Проблема в том, что на уроках в школе этому важнейшему материалу зачастую уделяют не достаточно внимания. В результате, когда появляется необходимость, ученику очень трудно отыскать в школьном учебнике или интернете чёткий алгоритм построения графика квадратичной функции (параболы) , а вместо этого приходится по крупицам выискивать необходимую информацию из множества различных источников. Решим эту проблему раз и навсегда! В данной статье представлен алгоритм построения параболы.
Квадратичной
называется функция вида:
И — некоторые числа, при этом . |
Алгоритм построения графика функции y=ax²+bx+c
Данный алгоритм продемонстрируем на примере построения графика квадратичной функции . В этом случае: , и .
1. Определим, куда направлены ветви соответствующей параболы. Если title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;">, то ветви параболы направлены вверх, если , то ветви параболы направлены вниз.
В нашем примере . Следовательно, ветви параболы направлены вниз.
2. Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины параболы определяется по формуле:
Ордината вершины параболы определяется путем подстановки в уравнение квадратичной функции и вычисления соответствующего значения.
В нашем случае абсцисса вершины параболы равна:
Тогда ордината вершины параболы равна:
3. Определим еще несколько точек вблизи вершины, принадлежащих параболе. Удобнее всего оформить эти точки в виде таблицы.
В нашем случае получаем следующую таблицу значений:
-2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | |
-8 | 0 | 4 | 4 | 0 | -8 |
4. Отметить полученные точки и вершину параболы на координатной плоскости и соединить их плавной линией. В результате получится требуемый график квадратичной функции.
В нашем случае получается следующая парабола:
Сергей Валерьевич
- Фокус параболы - это точка, от которой равноудалены все точки, лежащие на параболе.
- Директриса параболы - это прямая, от которой равноудалены все точки, лежащие на параболе.
- Ось симметрии параболы - это вертикальная линия, проходящая через фокус и вершину параболы перпендикулярно ее директрисе.
- Вершина параболы - точка пересечения параболы и оси симметрии. Если парабола направлена вверх, то вершина является самой низкой точкой параболы; если парабола направлена вниз, то вершина является самой верхней точкой параболы.
Уравнение параболы. Уравнение параболы имеет вид: y=ax 2 +bx+c . Уравнение параболы также можно записать в виде y = a(x – h)2 + k .
- Если коэффициент «а» положительный, то парабола направлена вверх, а если коэффициент «а» отрицательный, то парабола направлена вниз. Для запоминания этого правила: при положительном (позитивном ) коэффициенте парабола «улыбается» (направлена вверх) и наоборот при отрицательном (негативном ) коэффициенте.
- Например: y = 2x 2 -1 . Парабола этого уравнения направлена вверх, так как а = 2 (положительный коэффициент).
- Если в уравнении в квадрат возводится «у», а не «х», то парабола «лежит на боку» и направлена вправо или влево. Например, парабола y 2 = x + 3 направлена вправо.
Найдите ось симметрии. Ось симметрии параболы - это вертикальная линия, проходящая через вершину параболы. Ось симметрии задается функцией х = n, где n – координата «х» вершины параболы. Для вычисления оси симметрии воспользуйтесь формулой x = -b/2a .
- В нашем примере а = 2 , b = 0 . Подставьте эти значения в формулу: х = -0/(2 х 2) = 0 .
- Ось симметрии х = 0.
Найдите вершину. Вычислив ось симметрии, вы нашли координату «х» вершины параболы. Подставьте найденное значение в исходное уравнение, чтобы найти «у». Эти две координаты и есть координаты вершины параболы. В нашем примере подставьте х = 0 в у = 2x 2 -1 и получите у = -1. Вершина параболы имеет координаты (0, -1). Более того, это точка пересечения параболы с осью Y (так как х = 0).
- Иногда координаты вершины обозначаются как (h,k). В нашем примере h = 0, k = -1. Если квадратное уравнение дано в виде y = a(x – h)2 + k , то можно с легкостью найти координаты вершины непосредственно из уравнения (без вычислений).
В математике есть целый цикл тождеств, среди которых значимое место занимают квадратичные уравнения. Подобные равенства могут решаться как отдельно, так и для построения графиков на оси координат. уравнений являются точками пересечения параболы и прямой ох.
Общий вид
В общем виде имеет следующую структуру:
В роли "икса" могут рассматриваться как отдельные переменные, так и целые выражения. Например:
(x+7) 2 +3(x+7)+2=0.
В том случае, когда в роли х выступает выражение, необходимо представить его как переменную и найти После этого к ним приравнять многочлен и найти х.
Так, если (х+7)=а, то уравнение принимает вид а 2 +3а+2=0.
Д=3 2 -4*1*2=1;
а 1 =(-3-1)/2*1=-2;
а 2 =(-3+1)/2*1=-1.
При корнях, равных -2 и -1, получим следующее:
x+7=-2 и x+7=-1;
Корни являются значением х-координаты точки пересечения параболы с осью абсцисс. В принципе, их значение не так уж и важно, если поставлена задача лишь найти вершину параболы. Но для построения графика корни играют важную роль.
Вернемся к начальному уравнению. Для ответа на вопрос о том, как найти вершину параболы, необходимо знать следующую формулу:
где х вп - это значение х-координаты искомой точки.
Но как найти вершину параболы без значения у-координаты? Подставляем полученное значение х в уравнение и находим искомую переменную. Например, решим следующее уравнение:
Находим значение х-координаты для вершины параболы:
х вп =-b/2a=-3/2*1;
Находим значение у-координаты для вершины параболы:
у=2х 2 +4х-3=(-1,5) 2 +3*(-1,5)-5;
В результате получаем, что вершина параболы находится в точке с координатами (-1,5;-7,25).
Парабола представляет собой соединение точек, имеющее вертикальную По этой причине само ее построение не представляет особого труда. Самое сложное - это произвести правильные расчеты координат точек.
Стоит обратить особое внимание на коэффициенты квадратного уравнения.
Коэффициент а влияет на направление параболы. В том случае, когда он имеет отрицательное значение, ветви будут направлены вниз, а при положительном знаке - вверх.
Коэффициент b показывает, насколько широк будет рукав параболы. Чем больше его значение, тем он будет шире.
Коэффициент с указывает на смещение параболы по оси ОУ относительно начала координат.
Как найти вершину параболы, мы уже узнали, а чтобы найти корни, следует руководствоваться следующими формулами:
где Д - это дискриминант, который необходим для нахождения корней уравнения.
x 1 =(-b+V - Д)/2a
x 2 =(-b-V - Д)/2a
Полученные значения х будут соответствовать нулевым значениям у, т.к. они являются точками пересечения с осью ОХ.
После этого отмечаем на вершину параболы и полученные значения. Для более детального графика необходимо найти еще несколько точек. Для этого выбираем любое значение х, допустимое областью определения, и подставляем его в уравнение функции. Результатом вычислений будет координата точки по оси ОУ.
Чтобы упростить процесс построения графика, можно провести вертикальную линию через вершину параболы и перпендикулярно оси ОХ. Это будет при помощи которой, имея одну точку, можно обозначить и вторую, равноудаленную от проведенной линии.
Для того, чтобы начертить график функции в Прямоугольной системе координат, нам необходимы две перпендикулярные прямые xOy (где O это точка пресечения x и y), которые называются "координатными осями", и нужна единица измерения.
У точки в этой системе есть две координаты.
M(x, y): M это название точки, x это абсцисса и она измеряется по Ox, а y это ордината и мерится по Oy.
Если мы рассмотрим функцию f: A -> B (где A - область определения, B - область значений функции), тогда точку на графике данной функции можно представить в форме P(x, f(x)).
Пример
f:A -> B, f(x) = 3x - 1
If x = 2 => f(2) = 3×2 - 1 = 5 => P(2, 5) ∈ Gf (где Gf это график данной функции).
Квадратичная функция
Стандартная форма: f(x) = ax 2 + bx + c
Вершинная форма: $f(x)=(a+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}$
где Δ = b 2 - 4ac
Если a > 0 , то минимальным значением f(x) будет $-\frac{\Delta}{4a}$ , которое получается, если $x=-\frac{b}{2a}$. Графиком будет выпуклая парабола , вершина которой (точка, в которой она меняет направление) это $V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.
Если a < 0 , то минимальное значение f(x) будет $-\frac{\Delta}{4a}$ , которое получается, если $x=-\frac{b}{2a}$. Графиком будет вогнутая парабола , вершина которой это$V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.
Парабола симметрична относительно прямой, которую она пересекает $x=-\frac{b}{2a}$ и которая называется "осью симметрии"
.
Именно поэтому, когда мы присваиваем знаячения x
, то вибираем их симметричными относительно $-\frac{b}{2a}$.
При построении графика, точки пересечения с осями координат очень важны.
|. Точка, расположенная на оси Ox имеет форму P(x, 0) , потому что расстояние от неё до Ox равно 0. Если точка находиться и на Ox и на графике функции,то она также имеет вид P(x, f(x)) ⇒ f(x) = 0 .
Таким образом, для того чтобы найти координаты точки пересечения с осью Ox , мы должны решить уравнение f(x)=0 . Мы получаем уравнение a 2 + bx + c = 0 .
Решение уравнения зависит от знака Δ = b 2 - 4ac .
Иммем следующие варианты:
1) Δ < 0
,
тогда у уравнения нет решений в R
(множестве действительных чисел) и график не пересекает Ox
. Форма графика будет:
2) Δ = 0
,
тогда у уравнения два решения $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$
График касается оси Ox
в вершине параболы. Форма графика будет:
3) Δ > 0
,
тогда у уравнения два разных решения.
$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ и $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
График функции будет пересекать ось Ox в точках M(x 1 и Ox . Форма графика будет:
||. Точка, находящаяся на оси Oy имеет форму R(0, y) , потому что расстояние от Oy равно 0 . Если точка находиться и на Oy и на графике функции, то она также имеет форму R(x, f(x)) ⇒ x = 0 ⇒ R(0, f(0)) .
В случае квадратичной функции,
f(0) = a×0 2 + b×0 + c ⇒ R(0, c).
Необходимые шаги для построения графика квадратичной функции
f: R → R
f(x) = ax 2 + bx + c
1. Составляем таблицу переменных, куда заносим некоторые важные значения x
.
2. Вычисляем координаты вершины$V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.
3. Также записываем 0 в таблицу и нулевые значения симметричные $-\frac{b}{2a}$.
4. Мы определяем точку пересечения с осью Ox,
решая уравнение f(x)=0
и записываем корни x 1
и x 2
в таблице.
Δ > 0 ⇒
Δ < 0 ⇒ точек пересечения нет. В этом случае мы выберем два удобных значения, которые симметричны $-\frac{b}{2a}$
Δ = 0 ⇒ график касается Ox прямо в вершине параболы. Мы снова выберем два удобных значения, симметричных $-\frac{b}{2a}$. Для лучшего определения формы графика мы может выбрать другие пары значений для x , но они должны быть симметричны $-\frac{b}{2a}$.
5. Мы наносим эти значения на систему координат и строим график, соединяя эти точки.
Пример 1
f: R → R
f(x) = x 2 - 2x - 3
a = 1, b = -2, c = -3
$-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1$
⇒ V(1; -4)
1. $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{16}{4}=-4$
2. f(0) = -3
Симметричное 0 значение относительно 1 равно 2.
f(2) = -3
3. f(x) = 0 ⇒ x 2 - 2x - 3 = 0
Δ = 16 > 0
$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2-4}{2}=-1$
$x_1=\frac{2+4}{2}=3$
Мы нашли точки:
A(-1; 0)
B(0; -3)
V(1; -4)
C(2; -3)
D(3; 0)
График будет иметь вид:
Пример 2
f: R → R
f(x) = -x 2 - 2x + 8
a = -1, b = -2, c = 8
Δ = b 2 - 4×a×c = (-2) 2 - 4×(-1)×8 = 36
$-\frac{b}{2a}=\frac{2}{-2}=-1$
⇒ V(-1; 9)
1. $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{-36}{-4}=9$
2. f(0) = 8
f(-2) = 8 (симметричное 0 значение относительно -1 равно -2)
3. f(x) = 0 ⇒ -x 2 - 2x + 8 = 0
Δ = 36
x 1 = 2 и x 2 = -4
A(-4; 0)
B(-2; 8)
V(-1; 9)
C(0; 8)
D(2; 0)
Пример 3
f: R → R
f(x) = x 2 - 4x + 4
a = 1, b = -4, c = 4
Δ = b 2 - 4×a×c = (-4) 2 - 4×1×4 = 0
$-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2$
⇒ V(2; 0)
1. $-\frac{\Delta}{4a}=0$
2. f(0) = 4
f(4) = 4 (симметричное 0 значение относительно 2 равно 4)
3. f(x) = 0 ⇒ x 2 - 4x + 4 = 0
Δ = 0
x 1 = x 2 = $-\frac{b}{2a}$ = 2
A(-2; 9)
B(0; 4)
V(2; 0)
C(4; 4)
D(5; 9)
Пример 4
f: R → R
f(x) = -x 2 + 4x - 5
a = -1, b = 4, c = -5
Δ = b 2 - 4×a×c = 4 2 - 4×(-1)×(-5) = 16 - 20 = -4
$-\frac{b}{2a}=\frac{-4}{-2}=2$
⇒ V(2; -1)
1. $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{-4}{-4}=-1$
2. f(0) = -5
f(4) = -5 (симметричное 0 значение относительно 2 равно 4)
3. f(x) = 0 ⇒ -x 2 + 4x - 5 = 0,
Δ < 0
У этого уравнения нет решений.
Мы выбрали симметричные значения вокруг 2
A(-1; -10)
B(0; 5)
V(2; -1)
C(4; -5)
D(5; -10)
Если область определения не R (множество действительных чисел), а какой-то интервал, то мы стираем часть графика, которая соответствует тем значениям x, которые не находятся в данном интервале. Необходимо записать конечные точки интервала в таблице.
Пример 5
f: }