При изучении систем случайных величин всегда следует обращать внимание на степень и характер их зависимости. Эта зависимость может быть более или менее тесной.

Понятие о независимых случайных величинах -- одно из важных понятий теории вероятностей.

Определение 1. Случайная величина Y называется независимой от случайной величины X, если закон распределения величины Y не зависит от того, какое значение приняла величина X.

Для непрерывных случайных величин условие независимости Y от X может быть записано в виде:

Напротив, в случае, если Y зависит от X, то

Докажем, что зависимость или независимость случайных величин всегда взаимны: если величина Y не зависит от X, то и величина X не зависит от Y.

Действительно, пусть Y не зависит от X , тогда

Плотность совместного распределения согласно (5.4.5) и (5.4.6) можно записать

откуда, получим:

что и требовалось доказать.

Так как зависимость и независимость случайных величин всегда взаимны, можно дать новое определение независимых случайных величин.

Определение 2. Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае величины X и Y называются зависимыми.

Для независимых непрерывных случайных величин теорема умножения законов распределения принимает вид:

т.е. плотность распределения системы независимых случайных величин равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему.

Остановимся, несколько подробнее на важных понятиях о «зависимости» и «независимости» случайных величин.

Понятие «зависимости» случайных величин, которым мы пользуемся в теории вероятностей, несколько отличается от обычного понятия «зависимости» величин, которым мы оперируем в математике. Действительно, обычно под «зависимостью» величин подразумевают только один тип зависимости--полную, жесткую, так называемую функциональную зависимость. Две величины X и Y называются функционально зависимыми, если, зная значение одной из них, можно точно указать значение другой.

В теории вероятностей мы встречаемся с другим, более общим, типом зависимости -- с вероятностной или «стохастической» зависимостью. Если величина Y связана с величиной X вероятностной зависимостью, то, зная значение X, нельзя указать точно значение Y, а можно указать только ее закон распределения, зависящий от того, какое значение приняла величина X.

Вероятностная зависимость между случайными величинами очень часто встречается на практике. Если случайные величины X и Y находятся в вероятностной зависимости, это не означает, что с изменением величины X величина Y изменяется вполне определенным образом; это лишь означает, что с изменением величины X величина Y имеет тенденцию также изменяться (например, возрастать или убывать при возрастании X).

Рассмотрим, например, две такие случайные величины: X -- рост наугад взятого человека, Y -- его вес. Очевидно, величины X и Y находятся в определенной вероятностной зависимости; она выражается в том, что в общем люди с большим ростом имеют больший вес.

Две случайные величины $X$ и $Y$ называются независимыми, если закон распределения одной случайной величины не изменяется от того, какие возможные значения приняла другая случайная величина. То есть, для любых $x$ и $y$ события $X=x$ и $Y=y$ являются независимыми. Поскольку события $X=x$ и $Y=y$ независимые, то по теореме произведения вероятностей независимых событий $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\right)\right)=P\left(X=x\right)P\left(Y=y\right)$.

Пример 1 . Пусть случайная величина $X$ выражает денежный выигрыш по билетам одной лотереи «Русское лото», а случайная величина $Y$ выражает денежный выигрыш по билетам другой лотереи «Золотой ключ». Очевидно, что случайные величины $X,\ Y$ будут независимыми, так как выигрыш по билетам одной лотереи не зависит от закона распределения выигрышей по билетам другой лотереи. В том случае, когда случайные величины $X,\ Y$ выражали бы выигрыш по одной и той же лотереи, то, очевидно, данные случайные величины были бы зависимыми.

Пример 2 . Двое рабочих трудятся в разных цехах и изготавливают различные изделия, несвязанные между собой технологиями изготовления и используемым сырьем. Закон распределения числа бракованных изделий, изготовленных первым рабочим за смену, имеет следующий вид:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
Число \ бракованных \ изделий \ x & 0 & 1 \\
\hline
Вероятность & 0,8 & 0,2 \\
\hline
\end{array}$

Число бракованных изделий, изготовленных вторым рабочим за смену, подчиняется следующими закону распределения.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
Число \ бракованных \ изделий \ y & 0 & 1 \\
\hline
Вероятность & 0,7 & 0,3 \\
\hline
\end{array}$

Найдем закон распределения числа бракованных изделий, изготовленных двумя рабочими за смену.

Пусть случайная величина $X$ - число бракованных изделий, изготовленных первым рабочим за смену, а $Y$ - число бракованных изделий, изготовленных вторым рабочим за смену. По условию, случайные величины $X,\ Y$ независимы.

Число бракованных изделий, изготовленных двумя рабочими за смену, есть случайная величина $X+Y$. Ее возможные значения равны $0,\ 1$ и $2$. Найдем вероятности, с которыми случайная величина $X+Y$ принимает свои значения.

$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right)=0,8\cdot 0,7=0,56.$

$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\ Y=1\ или\ X=1,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=1\right)+P\left(X=1\right)P\left(Y=0\right)=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,7=0,38.$

$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\ Y=1\right)=P\left(X=1\right)P\left(Y=1\right)=0,2\cdot 0,3=0,06.$

Тогда закон распределения числа бракованных изделий, изготовленных двумя рабочими за смену:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
Число \ бракованных \ изделий & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Вероятность & 0,56 & 0,38 & 0,06 \\
\hline
\end{array}$

В предыдущем примере мы выполняли операцию над случайными величинами $X,\ Y$, а именно находили их сумму $X+Y$. Дадим теперь более строгое определение операций (сложение, разность, умножение) над случайными величинами и приведем примеры решений.

Определение 1 . Произведением $kX$ случайной величины $X$ на постоянную величину $k$ называется случайная величина, которая принимает значения $kx_i$ с теми же вероятностями $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \dots ,\ n\right)$.

Определение 2 . Суммой (разностью или произведением) случайных величин $X$ и $Y$ называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ или $x_i\cdot y_i$), где $i=1,\ 2,\dots ,\ n$, с вероятностями $p_{ij}$ того, что случайная величина $X$ примет значение $x_i$, а $Y$ значение $y_j$:

$$p_{ij}=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right].$$

Так как случайные величины $X,\ Y$ независимые, то по теореме умножения вероятностей для независимых событий: $p_{ij}=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\right)=p_i\cdot p_j$.

Пример 3 . Независимые случайные величины $X,\ Y$ заданы своими законами распределения вероятностей.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end{array}$

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end{array}$

Составим закон распределения случайной величины $Z=2X+Y$. Суммой случайных величин $X$ и $Y$, то есть $X+Y$, называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида $x_i+y_j$, где $i=1,\ 2,\dots ,\ n$, с вероятностями $p_{ij}$ того, что случайная величина $X$ примет значение $x_i$, а $Y$ значение $y_j$: $p_{ij}=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right]$. Так как случайные величины $X,\ Y$ независимые, то по теореме умножения вероятностей для независимых событий: $p_{ij}=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\right)=p_i\cdot p_j$.

Итак, имеет законы распределения случайных величины $2X$ и $Y$ соответственно.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end{array}$

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end{array}$

Для удобства нахождения всех значений суммы $Z=2X+Y$ и их вероятностей составим вспомогательную таблицу, в каждой клетке которой поместим в левом углу значения суммы $Z=2X+Y$, а в правом углу - вероятности этих значений, полученные в результате перемножения вероятностей соответствующих значений случайных величин $2X$ и $Y$.

В результате получим распределение $Z=2X+Y$:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 & 0,35 \\
\hline
\end{array}$

Любой из них, не зависит от того, какие значения приняли (или примут) остальные случайные величины.

Например, система двух игральных кубиков – совершенно понятно, что результат броска одного кубика никак не влияет на вероятности выпадения граней другого кубика. Или одинаковые независимо работающие игровые автоматы. И, наверное, у некоторых сложилось впечатление, что независимы вообще любые СВ. Однако это далеко не всегда так.

Рассмотрим одновременное сбрасывание двух кубиков-магнитов, у которых северные полюса находятся на стороне 1-очковой грани и южные – на противоположной грани в 6 очков. Будут ли независимыми аналогичные случайные величины? Да, будут. Просто снизятся вероятности выпадения «1» и «6» и увеличатся шансы других граней, т.к. в результате испытания кубики могут притянуться противоположными полюсами.

Теперь рассмотрим систему , в которой кубики сбрасываются последовательно :

– количество очков, выпавших на первом кубике;

– количество очков, выпавших на втором кубике, при условии, что он всё время сбрасывается по правую (например) сторону от 1-го кубика .

В этом случае закон распределения случайной величины зависит от того, как расположился 1-й кубик. Вторая кость может либо притянуться, либо наоборот – отскочить (если «встретились» одноимённые полюса), либо частично или полностью проигнорировать 1-й кубик.

Второй пример: предположим, что одинаковых игровых автоматов объединены в единую сеть, и – есть система случайных величин - выигрышей на соответствующих автоматах. Не знаю, законна ли эта схема, но владелец игрового зала вполне может настроить сеть следующим образом: при выпадении крупного выигрыша на каком-либо автомате, автоматически меняются законы распределения выигрышей вообще на всех автоматах. В частности, целесообразно на некоторое время обнулить вероятности крупных выигрышей, чтобы заведение не столкнулось с нехваткой средств (в том случае, если вдруг кто-то выиграет по-крупному ещё раз). Таким образом, рассмотренная система будет зависима.

В качестве демонстрационного примера рассмотрим колоду из 8 карт, пусть это будут короли и дамы, и простую игру, в которой два игрока последовательно (не важно, в каком порядке) извлекают из колоды по одной карте. Рассмотрим случайную величину , которая символизирует одного игрока и принимает следующие значения: 1 , если он извлёк червовую карту, и 0 – если карту другой масти.

Аналогично, пусть случайная величина символизирует другого игрока и тоже принимает значения 0 либо 1, если он извлёк не черву и черву соответственно.

– вероятность того, что оба игрока извлекут черву,

– вероятность противоположного события, и:

– вероятность того, что один извлечёт черву, а другой – нет; ну или наоборот:

Таким образом, закон распределения вероятностей зависимой системы :

Контроль: , что и требовалось проверить. …Возможно, у вас возник вопрос, а почему я рассматриваю именно 8, а не 36 карт? Да просто для того, чтобы дроби получились не такими громоздкими.

Теперь немного проанализируем результаты. Если просуммировать вероятности по строкам : , то получится в точности закон распределения случайной величины :

Легко понять, что это распределение соответствует ситуации, когда «иксовый» игрок тянет карту один, без «игрекового» товарища, и его математическое ожидание:
– равно вероятности извлечения червы из нашей колоды.

Аналогично, если просуммировать вероятности по столбцам , то получим закон распределения одиночной игры второго игрока:

с тем же матожиданием

В силу «симметрии» правил игры, распределения получились одинаковыми, но, в общем случае, они, конечно, различны.

Помимо этого, полезно рассмотреть условные законы распределения вероятностей . Это ситуация, когда одна из случайных величин уже приняла какое-то конкретное значение, или же мы предполагаем это гипотетически.

Пусть «игрековый» игрок тянет карту первым и извлёкает не черву . Вероятность этого события составляет (суммируем вероятности по первому столбцу таблицы – см. вверху ). Тогда, из той же теоремы умножения вероятностей зависимых событий получаем следующие условные вероятности:
– вероятность того, что «иксовый» игрок вытянет не черву при условии, что «игрековый» вытянул не черву;
– вероятность того, что «иксовый» игрок вытянет черву, при условии, что «игрековый» вытянул не черву.

…все помнят, как избавляться от четырёхэтажных дробей ? И да, формальное, но очень удобное техническое правило вычисления этих вероятностей : сначала следует просуммировать все вероятности по столбцу , и затем каждую вероятность разделить на полученную сумму.

Таким образом, при условный закон распределения случайной величины запишется так:

, ОК. Вычислим условное математическое ожидание:

Теперь составим закон распределения случайной величины при условии, что случайная величина приняла значение , т.е. «игрековый» игрок извлёк карту червовой масти. Для этого суммируем вероятности 2-го столбца таблицы (см. вверху ): и вычисляем условные вероятности:
– того, что «иксовый» игрок вытянет не черву,
– и черву.
Таким образом, искомый условный закон распределения:

Контроль: , и условное математическое ожидание:
– разумеется, оно получилось меньше, чем в предыдущем случае, так как «игрековый» игрок убавил количество черв в колоде.

«Зеркальным» способом (работая со строками таблицы ) можно составить – закон распределения случайной величины , при условии, что случайная величина приняла значение , и условное распределение , когда «иксовый» игрок извлёк черву. Легко понять, что в силу «симметрии» игры, получатся те же распределения и те же значения .

Для непрерывных случайных величин вводятся такие же понятия условных распределений и матожиданий , но если в них нет горячей надобности, то лучше продолжить изучение этого урока.

На практике в большинстве случаев вам предложат готовый закон распределения системы случайных величин:

Пример 4

Двумерная случайная величина задана своим законом распределения вероятностей:

…хотел рассмотреть таблицу побольше, но решил таки не маньячить, ведь главное разобраться в самом принципе решения.

Требуется:

1) Составить законы распределения и вычислить соответствующие математические ожидания. Сделать обоснованный вывод о зависимости или независимости случайных величин .

Это задание для самостоятельного решения! Напоминаю, что в случае независимости СВ законы должны получиться одинаковыми и совпасть с законом распределения случайной величины , и законы – совпасть с . Десятичные дроби, кто не знает или позабыл, удобно делить так: .
Свериться с образцом можно внизу страницы.

2) Вычислить коэффициент ковариации.

Сначала разберёмся в самом термине, и откуда он вообще произошёл: когда случайная величина принимает различные значения, то говорят, что она варьируется , и количественное измерение этой вариации , как вы знаете, выражается дисперсией . Используя формулу вычисления дисперсии, а также свойства матожидания и дисперсии, нетрудно установить, что:

то есть, при сложении двух случайных величин суммируются их дисперсии и добавляется дополнительное слагаемое, характеризующее совместную вариацию или коротко – ковариацию случайных величин.

Ковариация или корреляционный момент – это мера совместной вариации случайных величин.

Обозначение : или

Ковариация дискретных случайных величин определяется, сейчас буду «выражаться»:), как математическое ожидание произведения линейных отклонений этих случайных величин от соответствующих матожиданий:

Если , то случайные величины зависимы . Образно говоря, ненулевое значение говорит нам о закономерных «откликах» одной СВ на изменение другой СВ.

Ковариацию можно вычислить двумя способами, я рассмотрю оба.

Способ первый . По определению математического ожидания :

«Страшная» формула и совсем не страшные вычисления. Сначала составим законы распределения случайных величин и – для этого суммируем вероятности по строкам («иксовая» величина) и по столбцам («игрековая» величина) :

Взгляните на исходную верхнюю таблицу – всем понятно, как получились распределения? Вычислим матожидания :
и отклонения значений случайных величин от соответствующих математических ожиданий:

Полученные отклонения удобно поместить в двумерную таблицу, внутрь которой затем переписать вероятности из исходной таблицы:


Теперь нужно вычислить все возможные произведения , в качестве примера я выделил: (красный цвет) и (синий цвет) . Вычисления удобно проводить в Экселе, а на чистовике расписать всё подробно. Я привык работать «по строкам» слева направо и поэтому сначала перечислю все возможные произведения с «иксовым» отклонением -1,6, затем – с отклонением 0,4:

Способ второй , более простой и распространённый. По формуле:

Матожидание произведения СВ определяется как и технически всё очень просто: берём исходную таблицу задачи и находим все возможные произведения на соответствующие вероятности ; на рисунке ниже я выделил красным цветом произведение и синим произведение :


Сначала перечислю все произведения со значением , затем – со значением , но вы, разумеется, можете использовать и другой порядок перебора – кому как удобнее:

Значения уже вычислены (см. 1-й способ), и осталось применить формулу:

Как отмечалось выше, ненулевое значение ковариации говорит нам о зависимости случайных величин, причём, чем оно больше по модулю , тем эта зависимость ближе к функциональной линейной зависимости . Ибо определяется через линейные отклонения.

Таким образом, определение можно сформулировать точнее:

Ковариация – это мера линейной зависимости случайных величин.

С нулевым значением всё занятнее. Если установлено, что , то случайные величины могут оказаться как независимыми, так и зависимыми (т.к. зависимость может носить не только линейный характер). Таким образом, этот факт в общем случае нельзя использовать для обоснования независимости СВ !

Однако, если известно, что независимы, то . В этом легко убедиться аналитически: так как для независимых случайных величин справедливо свойство (см. предыдущий урок) , то по формуле вычисления ковариации:

Какие значения может принимать этот коэффициент? Коэффициент ковариации принимает значения, не превосходящие по модулю – и чем больше , тем сильнее выражена линейная зависимость. И всё вроде бы хорошо, но есть существенное неудобство такой меры:

Предположим, мы исследуем двумерную непрерывную случайную величину (готовимся морально:)), компоненты которой измеряются в сантиметрах, и получили значение . Кстати, какая размерность у ковариации? Коль скоро, – сантиметры, и – тоже сантиметры, то их произведение и матожидание этого произведения – выражается в квадратных сантиметрах, т.е. ковариация, как и дисперсия – есть квадратичная величина.

Теперь предположим, что кто-то изучил ту же систему , но использовал не сантиметры, а миллиметры. Так как 1 см = 10 мм, то ковариация увеличится в 100 раз и будет равна !

Поэтому удобно рассмотреть нормированный коэффициент ковариации, который давал бы нам одинаковое и безразмерное значение. Такой коэффициент получил название, продолжаем нашу задачу:

3) Коэффициент корреляции . Или, точнее, коэффициент линейной корреляции:

, где – стандартные отклонения случайных величин.

Коэффициент корреляции безразмерен и принимает значения из промежутка:

(если у вас на практике получилось другое – ищите ошибку) .

Чем больше по модулю к единице, тем теснее линейная взаимосвязь между величинами , и чем ближе к нулю – тем такая зависимость выражена меньше. Взаимосвязь считается существенной, начиная примерно с . Крайним значениям соответствует строгая функциональная зависимость , но на практике, конечно, «идеальных» случаев не встретить.

Очень хочется привести много интересных примеров, но корреляция более актуальна в курсе математической статистики , и поэтому я приберегу их на будущее. Ну а сейчас найдём коэффициент корреляции в нашей задаче. Так. Законы распределения уже известны, скопирую сверху:

Матожидания найдены: , и осталось вычислить стандартные отклонения. Табличкой уж оформлять не буду, быстрее подсчитать строкой:

Ковариация найдена в предыдущем пункте , и осталось рассчитать коэффициент корреляции:
, таким образом, между величинами имеет место линейная зависимость средней тесноты.

Четвёртое задание опять же более характерно для задач математической статистики , но на всякий случай рассмотрим его и здесь:

4) Составить уравнение линейной регрессии на .

Уравнение линейной регрессии – это функция , которая наилучшим образом приближает значения случайной величины . Для наилучшего приближения, как правило, используют метод наименьших квадратов , и тогда коэффициенты регрессии можно вычислить по формулам:
, вот это чудеса, и 2-й коэффициент:

Случайные события называются независимыми, если появление одного из них никак не влияет на вероятность появления других событий.

Пример 1. Если есть две или более урны с цветными шарами, то извлечение какого-либо шара из одной урны никак не повлияет на вероятность извлечения других шаров из оставшихся урн.

Для независимых событий справедлива теорема умножения вероятностей: вероятность совместного (одновременного ) появления нескольких независимых случайных событий равна произведению их вероятностей:

Р(А 1 и А 2 и А 3 … и А k) = Р(А 1) ∙Р(А 2) ∙…∙Р(А k). (7)

Совместное (одновременное) появление событий означает, что происходят события и А 1 , и А 2 , и А 3 … и А k .

Пример 2. Есть две урны. В одной находится 2 черных и 8 белых шаров, в другой – 6 черных и 4 белых. Пусть событие А –выбор наугад белого шара из первой урны, В – из второй. Какова вероятность выбрать наугад одновременноиз этих урн по белому шару, т.е. чему равна Р (А и В )?

Решение: вероятность достать белый шар из первой урны
Р (А ) = = 0,8 из второй – Р (В ) = = 0,4. Вероятность одновременно достать по белому шару из обеих урн –
Р (А и В ) = Р (А )·Р (В ) = 0,8∙ 0,4 = 0,32 = 32%.

Пример 3. Рацион с пониженным содержанием йода вызывает увеличение щитовидной железы у 60% животных большой популяции. Для эксперимента нужны 4 увеличенных железы. Найдите вероятность того, что у 4 случайно выбранных животных будет увеличенная щитовидная железа.

Решение :Случайное событие А – выбор наугад животного с увеличенной щитовидной железой. По условию задачи вероятность этого события Р (А ) = 0,6 = 60%. Тогда вероятность совместного появления четырех независимых событий – выбор наугад 4 животных с увеличенной щитовидной железой – будет равна:

Р (А 1 и А 2 и А 3 и А 4) = 0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 ∙ 0,6=(0,6) 4 ≈ 0,13 = 13%.

Зависимые события. Теорема умножения вероятностей для зависимых событий

Случайные события А и В называются зависимыми, если появление одного из них, например, А изменяет вероятность появления другого события – В. Поэтому для зависимых событий используются два значения вероятности: безусловнаяи условнаявероятности.

Если А и В зависимыесобытия, то вероятность наступления события В первым (т.е. до события А ) называется безусловной вероятностью этого события и обозначается Р (В ).Вероятность наступления события В при условии, что событие А уже произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается Р (В /А ) или Р А (В).

Аналогичный смысл имеют безусловная – Р (А ) и условная – Р (А/В ) вероятности для события А.

Теорема умножения вероятностейдля двух зависимых событий: вероятность одновременного наступления двух зависимых событий А и В равна произведению безусловной вероятности первого события на условную вероятность второго:

Р (А и В ) = Р (А ) ∙Р (В/А ) , (8)

А , или

Р (А и В ) = Р (В ) ∙Р (А/В), (9)

если первым наступает событие В .

Пример 1.В урне 3 черных шара и 7 белых. Найдите вероятность того, что из этой урныодин за другим(причем первый шар не возвращают в урну) будут вынуты 2 белых шара.

Решение : вероятность достать первый белый шар (событие А ) равна 7/10. После того как он вынут, в урне остается 9 шаров, из них 6 белых. Тогда вероятность появления второго белого шара (событие В ) равна Р (В /А ) = 6/9, а вероятность достать подряд два белых шара равна

Р (А и В ) = Р (А )∙Р (В /А ) = = 0,47 = 47%.

Приведенная теорема умножения вероятностей для зависимых событий допускает обобщение на любое количество событий. В частности, для трех событий, связанных друг с другом:

Р (А и В и С ) = Р (А ) ∙ Р (В/А ) ∙ Р (С/АВ ). (10)

Пример 2. В двух детских садах, каждый из которых посещает по 100 детей, произошла вспышка инфекционного заболевания. Доли заболевших составляют соответственно 1/5 и 1/4, причем в первом учреждении 70 %, а во втором – 60 % заболевших – дети младше 3-х лет. Случайным образом выбирают одного ребенка. Определите вероятность того, что:

1) выбранный ребенок относится к первому детскому саду (событие А ) и болен (событие В ).

2) выбран ребенок из второго детского сада (событие С ), болен (событие D ) и старше 3-х лет (событие Е ).

Решение . 1) искомая вероятность –

Р (А и В ) = Р (А ) ∙ Р (В /А ) = = 0,1 = 10%.

2) искомая вероятность:

Р (С и D и Е ) = Р (С ) ∙ Р (D /C ) ∙ Р (Е /CD ) = = 5%.

Формула Байеса

= (12)

Пример1. При первичном осмотре больного предполагаются 3 диагноза Н 1 , Н 2 , Н 3 . Их вероятности, по мнению врача, распределяются так: Р (Н 1) = 0,5; Р (Н 2) = 0,17; Р (Н 3) = 0,33. Следовательно, предварительно наиболее вероятным кажется первый диагноз. Для его уточнения назначается, например, анализ крови, в котором ожидается увеличение СОЭ (событие А ). Заранее известно (на основании результатов исследований), что вероятности увеличения СОЭ при предполагаемых заболеваниях равны:

Р (А /Н 1) = 0,1; Р (А /Н 2) = 0,2; Р (А /Н 3) = 0,9.

В полученном анализе зафиксировано увеличение СОЭ (событие А произошло). Тогда расчет по формуле Байеса (12) дает значения вероятностей предполагаемых заболеваний при увеличенном значении СОЭ: Р (Н 1 /А ) = 0,13; Р (Н 2 /А ) = 0,09;
Р (Н 3 /А ) = 0,78. Эти цифры показывают, что с учетом лабораторных данных наиболее реален не первый, а третий диагноз, вероятность которого теперь оказалась достаточно большой.

Пример 2. Определите вероятность, оценивающую степень риска перинатальной* смертности ребенка у женщин с анатомически узким тазом.

Решение : пусть событие Н 1 – благополучные роды. По данным клинических отчетов, Р (Н 1) = 0,975 = 97,5 %, тогда, если Н 2 – факт перинатальной смертности, то Р (Н 2) = 1 – 0,975 = 0,025 = 2,5 %.

Обозначим А – факт наличия узкого таза у роженицы. Из проведенных исследований известны: а) Р (А /Н 1) – вероятность узкого таза при благоприятных родах, Р (А /Н 1) = 0,029, б) Р (А /Н 2) – вероятность узкого таза при перинатальной смертности,
Р (А /Н 2) = 0,051. Тогда искомая вероятность перинатальной смертности при узком тазе у роженицы рассчитывается по формуле Байса (12) и равна:

Таким образом, риск перинатальной смертности при анатомически узком тазе значительно выше (почти вдвое) среднего риска (4,4 % против 2,5 %).

СОБЫТИЯ СЛУЧАЙНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ - такие случайные события А и В, для которых вероятность Р одновременного наступления 2-х событий А к В равна произведению вероятностей наступления каждого из них в отдельности: Р(АВ) = Р(А)·Р(В). Аналогично определение независимости п случайных событий. Это определение распространяется на независимость случайных величин, а именно, случайные величины X 1 , Х 2 , ..., Х п независимы, если для любой группы Х i1 , X i2 , ..., X ik , этих величин верно равенство: Р(Х i1 ≤ х i1, Х i2 ≤ х i2 , ..., Х ik ≤ x ik) = Р(Х i1 ≤ х i2)Р(Х i2 ≤х i2)...(Р(Х ik ≤ х ik); 1≤ k ≤ n. При решении геол. задач методами теории вероятностей и математической статистики корректная зависимости изучаемых величин часто является наиболее сложной и ответственной частью исследования.

Геологический словарь: в 2-х томах. - М.: Недра . Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др. . 1978 .

Смотреть что такое "СОБЫТИЯ СЛУЧАЙНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ" в других словарях:

См. События независимые случайные. Геологический словарь: в 2 х томах. М.: Недра. Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др.. 1978 … Геологическая энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Независимость (значения). В теории вероятностей два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Аналогично, две случайные … Википедия

Коэффициент корреляции - (Correlation coefficient) Коэффициент корреляции это статистический показатель зависимости двух случайных величин Определение коэффициента корреляции, виды коэффициентов корреляции, свойства коэффициента корреляции, вычисление и применение… … Энциклопедия инвестора

Математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных к. л. образом с первыми. Утверждение о том, что к. л. событие наступает с вероятностью, равной, напр., 1/2, еще не… … Математическая энциклопедия

В теории вероятностей одно из важнейших понятий этой теории. Иногда используют термины статистическая независимость, стохастическая независимость. Предположение о Н. рассматриваемых событий, испытаний и случайных величин было обычной предпосылкой … Математическая энциклопедия

Математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким либо образом с первыми. Утверждение о том, что какое либо событие наступает с Вероятностью,… … Большая советская энциклопедия

ГОСТ Р 50779.10-2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения - Терминология ГОСТ Р 50779.10 2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения оригинал документа: 2.3. (генеральная) совокупность Множество всех рассматриваемых единиц. Примечание Для случайной величины… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Занимается изучением событий, наступление которых достоверно неизвестно. Она позволяет судить о разумности ожидания наступления одних событий по сравнению с другими, хотя приписывание численных значений вероятностям событий часто бывает излишним… … Энциклопедия Кольера

Раздел математики, в к ром строят и изучают матем. модели случайных явлении. Случайность присуща в той или иной степени подавляющему большинству протекающих в природе процессов. Обычно она присутствует там, где существ. влияние на ход процесса… … Физическая энциклопедия

В математической статистике статистический метод, предназначенный для выявления влияния отдельных факторов на результат эксперимента, а также для последующего планирования аналогичных экспериментов. Первоначально Д. а. был предложен Р. Фишером… … Математическая энциклопедия